matematika

Minggu, 16 November 2014

Materi 2: Matriks

Dalam matematika, matriks adalah kumpulan bilangan, simbol, atau ekspresi, berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks. Contoh matriks dengan 2 baris dan 3 kolom yaitu

\begin{bmatrix}1 & 9 & -13 \\20 & 5 & -6 \end{bmatrix}.

Pemanfaatan matriks misalnya dalam menemukan solusi sistem persamaan linear. Penerapan lainnya adalah dalam transformasi linear, yaitu bentuk umum dari fungsi linear, misalnya rotasi dalam 3 dimensi.
Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlah, dikurangkan dan didekomposisikan. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur.

Operasi dasar

Penjumlahan dan pengurangan matriks

Penjumlahan dan pengurangan matriks hanya dapat dilakukan apabila kedua matriks memiliki ukuran atau tipe yang sama. Elemen-elemen yang dijumlahkan atau dikurangi adalah elemen yang posisi atau letaknya sama.

\begin{bmatrix} {3} & {4} \\ {6} & {5} \\ \end{bmatrix} \!

\begin{bmatrix} (a_{11} \pm b_{11}) & (a_{12} \pm b_{12}) & (a_{13} \pm b_{13}) \\ (a_{21} \pm b_{21}) & (a_{22} \pm b_{22}) & (a_{23} \pm b_{23}) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \\ \end{bmatrix} \!

Perkalian skalar

Matriks dapat dikalikan dengan sebuah skalar.
Contoh perhitungan :

5 \cdot \begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 1 & 2 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \cdot 1 & 5 \cdot (-3) & 5 \cdot 2 \\ 5 \cdot 1 & 5 \cdot 2 & 5 \cdot 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -15 & 10 \\ 5 & 10 & 35 \end{pmatrix}

Perkalian Matriks

Matriks dapat dikalikan, dengan cara tiap baris dikalikan dengan tiap kolom, lalu dijumlahkan pada baris yang sama.

Contoh perhitungan :

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 & -1 \\ 3 & 2 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 6 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 0 & 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 + 3 \cdot (-3) \\ 4 \cdot 6 + 5 \cdot 3 + 6 \cdot 0 & 4 \cdot (-1) + 5 \cdot 2 + 6 \cdot (-3) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & -6 \\ 39 & -12 \end{pmatrix}

Biografi: Matematikawan Penemu Matriks (Arthur Cayley)

Arthur Cayley merupakan seorang ahli matematika berkebangsaan Inggris. Dia merupakan orang pertama yang menemukan rumus matriks. Arthur Cayley lahir di Richmond, London, Inggris, pada tanggal 16 Agustus 1821. Ayahnya, Henry Cayley, adalah sepupu jauh dari Sir George Cayley sang inovator aeronautics engineer, dan diturunkan dari keluarga Yorkshire kuno. Ia menetap di Saint Petersburg, Rusia, sebagai seorang pedagang. Ibunya Maria Antonia Doughty, putri William Doughty. Menurut beberapa penulis ia Rusia, tapi nama ayahnya menunjukkan asal Inggris. Kakaknya adalah linguis Charles Bagot Cayley. Arthur menghabiskan delapan tahun pertamanya di Saint Petersburg. Pada 1829 orang tuanya menetap di Blackheath, dekat London. Arthur dikirim ke sebuah sekolah swasta. Dia awal menunjukkan keinginan besar untuk, dan bakat dalam, perhitungan numerik. Sebagai seorang anak, Cayley menikmati memecahkan masalah matematika yang kompleks untuk hiburan. Ia masuk Trinity College, Cambridge, di mana ia unggul dalam matematika Yunani, Perancis, Jerman, dan Italia, serta. Pada usia 14 ia dikirim ke King’s College Sekolah. Sang guru sekolah diamati indikasi genius matematis dan menyarankan ayah untuk mendidik anaknya tidak untuk bisnis sendiri, seperti yang dimaksudkan, tetapi untuk memasuki Universitas Cambridge. Pada usia 17 tahun, dia tinggal di Trinity College, Cambridge. Cayley berhasil menemukan berbagai macam rumus senyawa kimia. Dia berhasil menemukan Teorema Cayley. Tutor Cayley di Cambridge adalah George Peacock dan pelatih pribadinya adalah William Hopkins. Ia menyelesaikan program sarjana dengan memenangkan tempat Senior Wrangler, dan hadiah Smith pertama. Langkah berikutnya adalah untuk mengambil gelar MA, dan memenangkan Fellowship dengan pemeriksaan kompetitif. Dia terus berada di Cambridge selama empat tahun, selama waktu itu dia mengambil beberapa murid, tapi pekerjaan utamanya adalah persiapan 28 memoir untuk Journal Matematika. Dia membantu mendirikan sekolah di Inggris modern matematika murni. Dia bekerja sebagai pengacara selama 14 tahun. Ia membuktikan teorema Cayley-Hamilton-bahwa setiap matriks persegi akar polinomial karakteristik sendiri. Dia adalah yang pertama untuk mendefinisikan konsep grup dengan cara modern-sebagai satu set dengan operasi biner memuaskan hukum tertentu. Dahulu, ketika matematikawan berbicara tentang “kelompok”, mereka berarti kelompok permutasi. Pada tahun 1889 Cambridge University Press meminta dia untuk menyiapkan makalah matematika untuk publikasi dalam permintaan-dikumpulkan membentuk yang ia dihargai sangat banyak. Mereka dicetak dalam volume kuarto megah, yang tujuh muncul dengan keredaksian sendiri. Saat mengedit buku ini, ia menderita penyakit internal menyakitkan, yang ia menyerah pada tanggal 26 Januari 1895, pada tahun ke-74 dari usianya. Ketika pemakaman berlangsung, suatu kumpulan besar bertemu di Trinity Chapel, terdiri dari anggota Universitas, perwakilan resmi dari Rusia dan Amerika, dan banyak filsuf yang paling terkenal dari Inggris. Sisa kertas itu telah diedit oleh Prof Forsyth, penggantinya di Kursi Sadleirian. The Dikumpulkan Matematika nomor tiga belas volume kertas kuarto, dan mengandung 967 kertas. Cayley ditahan ke menyukai terakhir untuk novel-membaca dan untuk bepergian. Dia juga merasakan kesenangan khusus dalam lukisan dan arsitektur, dan ia berlatih melukis air-warna, yang bermanfaat kadang-kadang dalam membuat diagram matematika. Dia wafat pada tahun 1895.

Sang penemu LOGARITMA

John Napier (1550 - 1617) lahir dekat Edinburgh, Skotlandia, pada tahun 1550. Ia adalah anak dari seorang tanah yang kaya yang meninggal pada saat ia masih muda. Ia belajar bahasa Latin, Yunani, dan matematika dari seorang guru privat. Pada usia 13 tahun, ia belajar di Universitas St. Andrews. Secara mengejutkan, ia tidak menyelesaikan gelar universitasnya akan tetapi pergi ke Eropa. Ia kembali ke rumah pada usia 21 tahun dan menikah setahun kemudian. Istri pertamanya meninggal dunia di tahun 1579, dan ia menikah lagi beberapa tahun kemudian.

Pada masa tersebut terjadi pergolakan untuk menentukan siapa penguasa kerajaan Inggris selanjutnya. Beberapa pertikaian muncul mengenai penentuan apakah Inggris akan menjadi negara Katolik atau Protestan. John Napier terlibat dalam tiga peristiwa untuk mendukung gereja Protestan sebagai pembelaannya terhadap King James VI dari Skotlandia.

Tidak mengherankan jika John terlibat dalam perang. Akan tetapi, ia akhirnya mengalihkan ketertarikannya pada bidang matematika dan astronomi. Ia ingin mencari cara untuk mengurangi waktu yang diperlukan pada saat menghitung bilangan yang panjang, seperti 57162958 x 6173298.

Biografi John Napier: Penemu Logaritma dari Skotlandia

Pada tahun 1614, ia telah menyelesaikan buku pertamanya mengenai logaritma. Ia menemukan metode perkalian bilangan dengan menambah logaritmanya kemudian menggunakan invers logaritma untuk mendapatkan hasil akhir. Napier juga menemukan sehimpunan bilangan batang, yang sekarang disebut denganNapier's bones, yang digunakan untuk mengalikan bilangan-bilangan. Penemuan-penemuan Napier adalah awal dari digunakannya penggaris geser dan kalkulator.

Napier meninggal dunia di Puri Merchiston pada tanggal 4 April 1617 dalam usia 67 tahun.

Sabtu, 15 November 2014

Tentang kami

Nama : Dion Nugraha
Kelas XMia
Absen : 8
Hobby : main futsal
Status : masih bingung
Makanan kesukaan apa aja di makan

Nama : Victor Angkawijaya
Kelas : X Mia
Absen : 33
Hobby : ngejekin orang
Status : Masih gendut

Nama : Jason Liu
Kelas : X Mia
Absen :
Hobby Futsal
Team favorit : Arsenal
Bahasa yang di kuasai : Sunda
Status : Cepu

Logaritma

Hi , Friends hari ini saya akan mengupload file tentang logaritma. Mungkiin sebagian dari kalian tidak tahu apa itu Logaritma? apa sjakah sifat - sifat nya . Harapannya setelah kalian mendownload dan membaca file ini , kalian semakin mengerti tentang Logaritma... Cekidot

Logaritma